Toán hữu hạn Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x}$ , $g (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$

Bước 1

Tìm thương của các hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay thế các ký hiệu hàm số bằng các hàm số thực sự trong $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2^{2} - x^{2}}}$

Bước 1.2.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2$ và $b = x$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Bước 1.2.2

Nhân $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ với $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Bước 1.2.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ với $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Bước 1.2.3.2

Nâng $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Bước 1.2.3.3

Nâng $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} {\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1}}$

Bước 1.2.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1 + 1}}$

Bước 1.2.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}}$

Bước 1.2.3.6

Viết lại ${\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}$ ở dạng $(2 + x) (2 - x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ ở dạng ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{({((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.2.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.2.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{1}}$

Bước 1.2.3.6.5

Rút gọn.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

Bước 1.2.4

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

Bước 2

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x (2 + x) (2 - x) \geq 0$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Bước 3.2

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 3.3

Đặt $2 + x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đặt $2 + x$ bằng với $0$ .

$2 + x = 0$

Bước 3.3.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 3.4

Đặt $2 - x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đặt $2 - x$ bằng với $0$ .

$2 - x = 0$

Bước 3.4.2

Giải $2 - x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 2$

Bước 3.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 2$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 3.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 3.4.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 3.4.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.3.1

Chia $- 2$ cho $- 1$ .

$x = 2$

Bước 3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (2 + x) (2 - x) \geq 0$ đúng.

$x = 0, - 2, 2$

Bước 3.6

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Bước 3.7

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 3.7.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- 4 (2 - 4) (2 - (- 4)) \geq 0$

Bước 3.7.1.3

Vế trái $48$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 3.7.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 2 < x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 2 < x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 1$

Bước 3.7.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 1$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- 1 (2 - 1) (2 - (- 1)) \geq 0$

Bước 3.7.2.3

Vế trái $- 3$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 3.7.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1$

Bước 3.7.3.2

Thay thế $x$ bằng $1$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$1 (2 + 1) (2 - (1)) \geq 0$

Bước 3.7.3.3

Vế trái $3$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 3.7.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 3.7.4.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$4 (2 + 4) (2 - (4)) \geq 0$

Bước 3.7.4.3

Vế trái $- 48$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 3.7.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < 0$ Sai

$0 < x < 2$ Đúng

$x > 2$ Sai

$x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < 0$ Sai

$0 < x < 2$ Đúng

$x > 2$ Sai

Bước 3.8

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \leq - 2$ hoặc $0 \leq x \leq 2$

Bước 4

Đặt mẫu số trong $\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$(2 + x) (2 - x) = 0$

Bước 5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Bước 5.2

Đặt $2 + x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đặt $2 + x$ bằng với $0$ .

$2 + x = 0$

Bước 5.2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 5.3

Đặt $2 - x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đặt $2 - x$ bằng với $0$ .

$2 - x = 0$

Bước 5.3.2

Giải $2 - x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 2$

Bước 5.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 2$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 5.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 5.3.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 5.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.3.1

Chia $- 2$ cho $- 1$ .

$x = 2$

Bước 5.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 + x) (2 - x) = 0$ đúng.

$x = - 2, 2$

Bước 6

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 2) \cup [0, 2)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x < - 2, 0 \leq x < 2}$

Bước 7